¿Cuál es la mejor forma de enfrentarse (y resolver con éxito) al enunciado de un problema matemático? ¿Tal vez haciendo un dibujo? Eso es, al menos, lo que sugiere un nuevo y llamativo estudio efectuado por investigadores de las Universidades de Ginebra y Borgoña.
No es una suposición trivial. Se asume que, cuando nos enfrentamos al enunciado de un problema matemático que incluye tanto información matemática (números y operaciones aritméticas), como no matemática (el contexto del problema y las características de las entidades que lo protagonizan), nuestro cerebro procesa esta combinación de información verbal y numérica, y la convierte en una representación mental a fin de identificar la mejor estrategia de resolución. Y, por otro lado, cada vez más estudios sugieren que los dibujos esquemáticos que usualmente se elaboran para resolver este tipo de problemas son un reflejo de dichas representaciones mentales.
Juego 1: No es un juego, es un experimento
En el estudio, los participantes debían resolver 12 sencillos problemas aritméticos usando en cada caso el menor número de pasos posible, y haciendo un dibujo que ayudase a entender el problema y resolverlo.
A continuación, se presentan dos de estos problemas y se invita a resolverlos de la misma forma: en el menor número de pasos y con un dibujo que ayude a entenderlo.
Problema 1: Pablo tiene cinco canicas rojas y también tiene canicas azules. En total tiene once canicas. Las canicas de Julia son verdes y azules. Julia tiene tantas canicas azules como Pablo y además tiene dos canicas verdes menos que canicas rojas tiene Pablo. ¿Cuántas canicas tiene Julia?
Problema 2: Sofía coge el tren siendo de día, viaja durante 5 horas y llega a su destino a las 11 h. Fernando se subió al tren al mismo tiempo que Sofía y su viaje duró 2 horas menos. ¿A qué hora llegó Fernando a su destino?
Independientemente de lo anterior, numerosos estudios postulan que apoyarse en dibujos, diagramas u otro tipo de representaciones gráficas a la hora de procesar una información aporta numerosos beneficios: mejora la capacidad de aprendizaje y memorización; ayuda a comprender nociones complejas, refuerza el pensamiento crítico y científico y favorece una interpretación transversal e interdisciplinar. Y desde un punto de vista matemático, recurrir a estas representaciones facilita establecer las relaciones entre los distintos datos; visualizar la información implícita en el enunciado e identificar la estrategia de resolución más directa y sencilla.
Juego 2
En este sentido, el estudio recientemente publicado va un paso más allá al sugerir que la información verbal del enunciado condiciona el tipo de diagrama plasmado y, asimismo, la estrategia seleccionada para resolver el problema. Más específicamente, el estudio ha constatado que el tipo de representación escogida de forma preferente depende de si el enunciado es de naturaleza cardinal u ordinal.
Así, cuando el contexto alude a las propiedades cardinales de las magnitudes implicadas —la cantidad de elementos de un conjunto—se suele optar por una representación basada en agrupaciones de entidades (cruces, círculos, …) que a veces se solapan (o intersecan). Lo que a su vez conduce a una estrategia aritmética en tres pasos. En tanto que cuando el enunciado se centra en las propiedades ordinales de los números—la posición que ocupan en un conjunto—se suele optar por dibujos basados en ejes, intervalos o escalas, que conducen a una estrategia de resolución de un solo paso, más directa y sencilla.
Y eso aún cuando los problemas sean análogos desde un punto de vista matemático: presentan la misma estructura, los mismos valores numéricos y pueden resolverse con la misma estrategia (como es el caso de los problemas del juego 1).
Pero, posiblemente, la reflexión más interesante que plantea es que, sabiendo esto, se puede orientar y entrenar al estudiante a aplicar este segundo tipo de diagramas y, con ello, facilitar que identifique la mejor vía para solucionarlo.
Juego 3: Un desafío de altos vuelos
Sara quiere ir de Madrid a Tokio. Para ello, vuela primero a Nueva York donde coge un avión hasta Londres y, desde aquí, otro a Tokio.
Pablo también quiere ir desde Madrid a Tokio pero, en su caso, vuela directamente de Madrid a Londres y, desde allí, toma un vuelo a Tokio.
Si, en total, Sara está volando durante 27 horas y 15 minutos y Pablo 14 horas y 30 minutos, y teniendo en cuenta que el vuelo de Nueva York a Londres dura 4 horas y 45 minutos más que el de Madrid a Londres, y que el vuelo de Londres a Tokio dura 12 horas, ¿cuánto dura el vuelo de Madrid a Nueva York?
Y si, en cada escala, tanto Sara como Pablo solo pierden una hora, ¿cuál es la hora local cuando llegue a Tokio cada uno si ambos han partido de Madrid a las 14:00 h?
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