Los famosos cuadros del pintor holandés Piet Mondrian, protagonizados por sus icónicos rectángulos de colores, no solo son una de las máximas expresiones y representaciones del arte abstracto moderno que ha inspirado a generaciones de aspirantes a artistas; también son la base de un interesante problema o puzle matemático.
El Problema matemático de Mondrian consiste en dividir una cuadrícula de dimensiones n x n, en rectángulos y cuadrados de lados enteros e incongruentes entre sí (es decir, que no haya dos iguales), de tal modo que la diferencia entre la superficie del rectángulo mayor y el menor sea la menor posible. Esa resta dará la puntuación.
Este enunciado, formulado así en abstracto puede resultar difícil de entender, pero se ve muy fácilmente con un caso concreto. Por ejemplo, tomemos la cuadrícula de 4×4. Una posible solución es dividir el cuadro en dos rectángulos de 3×4 y 1×4, lo que otorga una puntuación de 8. Una forma de mejorar el resultado es dividir la cuadrícula en 3 rectángulos, lo que permite rebajar la puntuación a 6.
Pasatiempo 1:
Todavía hay una solución mejor para una cuadro 4×4, una distribución óptima que arroja una puntuación de 4. ¿Cuál es?
Fue a partir de 1915, tras haber absorbido y asimilado los principios de movimientos como el impresionismo, el expresionismo o el cubismo, cuando Piet Mondrian comenzó a pintar sus famosos cuadros. Estas obras sublimaban la abstracción y simplificación de las formas hasta limitar los elementos a líneas rectas y rectángulos; y los colores empleados a los primarios (rojo, amarillo y azul) y los acromáticos (gris, blanco y negro). Con este vocabulario pictórico, el pintor trataba de reflejar el equilibrio de opuestos —líneas vs superficies; formas horizontales vs verticales; colores vivos vs ausencia de color— que gobernaban la naturaleza y el universo entero y que constituía su esencia y espíritu.
Esta distribución geométrica de los cuadros de Mondrian —tan estudiada y basada en formas enfrentadas y a la vez complementarias— captó la atención de los matemáticos para plantear este reto, que se va complicando al hacer más grande la cuadrícula:
Pasatiempo 2:
Aquí se muestra la mejor solución para el caso de un cuadro de 5×5, que permite una Puntuación de 4.
En el caso de un cuadro de 6×6, la mínima puntuación posible es 5, ¿cuál es la solución que permite alcanzar este valor?
¿Y cuál es la solución óptima para un cuadro de 8×8?
Buscando un atajo matemático
Desde el momento en que el Problema de Mondrian fue planteado, los matemáticos han tratado y siguen tratando de encontrar un método o algoritmo general que de la solución para los infinitos casos posibles. Esto, que todavía no se ha logrado, resultaría una herramienta de gran utilidad práctica en campos como la distribución y optimización de espacios o el empaquetado.
La principal dificultad a la que se enfrentan es que, al aumentar las dimensiones del cuadro, no se ha identificado ningún patrón o estructura en las soluciones (algo que pudiese servir como pista o punto de partida para alcanzar la solución general). Al contrario: aunque al aumentar el valor de n la puntuación óptima parece que tiende a estabilizarse en lugar de a crecer, ésta no deja de fluctuar en ambos sentidos. Cuadros de mayores dimensiones pueden ofrecer puntuaciones menores que los que le preceden, pero también mayores, o la misma. Y todavía hay más variabilidad en el número de rectángulos necesarios para obtener la puntuación óptima en cada caso.
A falta de encontrar ese atajo matemático, hasta el momento las soluciones obtenidas para cuadros de dimensiones n x n se alcanzan mediante aproximaciones de “fuerza bruta”; es decir, a través de algoritmos que prueban en cada caso —para cada valor de n— el mayor número de soluciones posibles y calculan la puntuación de cada una de ellas.
Pasatiempo 3:
A continuación se muestra la mejor solución para un cuadro de 10×10, que solo permite rebajar la puntuación hasta 8.Por el contrario, en los cuadros de dimensiones 11×11 y 12×12 hay soluciones óptimas que permiten puntuaciones incluso menores de 8.
¿Cuáles son para uno y otro caso? ¿Cuál es la puntuación mínima que se puede alcanzar en uno y otro caso?
En su vertiente más lúdica, el Problema de Mondrian es un puzle en principio sencillo que resulta inagotable, pues se puede ampliar y complicar hasta el infinito, con tal de ir aumentando las dimensiones de la cuadrícula. Esa falta de estructura o regularidad que exaspera a los matemáticos es la que hace que resulte especialmente atractivo y adictivo.
Y por si todo lo anterior no fuera suficiente, en ocasiones se opta por ir un paso más allá e introducir un elemento o condicionante “artístico” que pasa por colorear la distribución resultante empleando el menor número de colores posibles y cumpliendo que rectángulos que compartan vértice y/o arista no pueden tener el mismo color. Esto permite obtener soluciones tan vistosas como las expuestas a modo de ejemplos… y acercarse un poco más a la obra de Mondrian.
Soluciones:
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