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31 julio 2019

El misterio del número 33 y las ecuaciones diofánticas

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Durante muchos años el 33 ha fascinado a la comunidad matemática, por protagonizar uno de los casos en apariencia más sencillos de ecuación diofántica, pero que que sin embargo está pendiente de resolución: podría parecernos fácil expresar el número 33 como la suma de los cubos de tres números enteros —es decir, encontrar una solución para la ecuación 33 = a3 +b3+c3—, pero nadie lo había conseguido aún desde que los matemáticos se propusieron resolver este misterio matemático en 1955.

Al menos así era hasta hace apenas unos meses. Porque el pasado mes de abril el matemático estadounidense Andrew Booker anunciaba que 33 podía expresar la suma de los cubos: (8866128975287528)3 + (-8778405442862239)3 + (-2736111468807040)3. Un logro alcanzado mediante un método o aproximación de fuerza bruta; es decir, con la asistencia de una supercomputadora, que ejecutó el algoritmo diseñado por el matemático durante tres semanas seguidas hasta encontrar dicha solución.

El matemático estadounidense Andrew Booker. Crédito: University of Bristol

Pero, ¿qué tienen de especial las ecuaciones diofánticas para despertar semejante fascinación? Indudablemente, una de las razones más poderosas es que tratan sobre algunos de los aspectos más básicos y sencillos de las matemáticas, como son los números enteros y las operaciones algebraicas más elementales. De hecho, las ecuaciones diofánticas se definen como “las ecuaciones polinómicas que implican solo sumas, productos y potencias y en el que tanto los coeficientes como las únicas soluciones válidas son números enteros”. En definitiva, poco menos que el abc de las matemáticas.

Un desafío vigente desde el siglo III

Y con esa presunta sencillez estas ecuaciones consiguen desconcertar a las mentes más brillantes, capaces de urdir sofisticadas demostraciones y pruebas con las que resolver cuestiones matemáticas aparentemente mucho más complejas. Este desafío está vigente desde el siglo III d.C., cuando fueron enunciadas por el matemático griego Diofante de Alejandría.

Pierre de Fermat volvió a llamar la atención sobre las ecuaciones diofánticas. Fuente: Wikimedia

Tras unos cuantos siglos de relativo olvido, las ecuaciones diofánticas volvieron a reclamar con fuerza la atención de los matemáticos a partir del s. XVIII, a raíz de que Pierre de Fermat enunciase su famoso último teorema —precisamente como una anotación al margen en un volumen de la “Aritmética” de Diofante— y que en realidad no dejaba de ser la supuesta solución para un tipo particular de este tipo de ecuaciones. En concreto, la nota dejada por el matemático francés conjeturaba que para n mayor de 3 no existen números enteros positivos xy y z, tales que se cumpla la igualdad: xn + yn = zn

“Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla”.

La búsqueda de una prueba para esta conjetura —y la leyenda de que Fermat había dado con ella, tal y como afirmaba en su anotación— estimuló a los más grandes matemáticos y propulsó el desarrollo de todo un nuevo campo, el de la teoría de números, hasta que en 1995 el británico Andrew Wiles alcanzaba la demostración definitiva.

En la lista de problemas a resolver de Hilbert

Antes de eso, en el año 1900 y en el marco del Congreso Universal de Matemáticas celebrado en París, el eminente David Hilbert incluía la resolución de las ecuaciones diofánticas en su lista de problemas a discernir por los matemáticos en los años venideros. En concreto, Hilbert señalaba la necesidad de identificar un algoritmo que permitiese determinar de un modo general si cualquier ecuación diofántica tiene solución. Un desafío que más de un siglo después, continúa vigente. Aunque con matices, pues en 1970 el matemático ruso Yuri Matiyasevich lograba demostrar la imposibilidad de alcanzar un algoritmo general para todas las ecuaciones diofánticas. Pero ello no invalidaba la búsqueda de un algoritmo, de un método general, para cada tipo particular de ellas.

David Hilbert incluyó la resolución de las ecuaciones diofánticas en su lista de problemas. Fuente: Open Logic

El caso que nos ocupa, el de expresar cualquier número entero como suma de tres cubos enteros, es uno de los más simples dentro de estas ecuaciones. Y lo más que se ha logrado probar es que los números enteros que al ser divididos entre 9 arrojan un resto de 4 o 5 no tienen solución. Pero, ¿y el resto? Todos los demás se denominan elegibles. Durante años, se conjeturó que para algunos números no habría solución. Sin embargo, con cada nuevo descubrimiento en sentido contrario, es decir, con cada solución particular identificada, el pensamiento matemático viraba, de tal modo que la conjetura moderna es que todos los números elegibles tienen solución.

Es ahí donde radica la verdadera dimensión del logro de Booker. Un nuevo resultado que refuerza y afianza esta intuición.Por lo demás, y tras la resolución del número 33, ya sólo se resiste entre los cien primeros enteros otro número aparentemente sencillo: el 42. Y aún hay otros once más sin solución entre los mil primeros números enteros.

Miguel Barral

@migbarral

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