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23 septiembre 2019

A la caza de los números primos: ¿a quién importa y por qué?

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Hace más de 3.550 años, un escriba egipcio llamado Ahmes escribió un papiro en el que consignó de diferente manera aquellas fracciones cuyos denominadores eran números primos. El dato suele citarse como muestra de que el conocimiento y la búsqueda de estos peculiares números son casi tan viejos como el pensamiento humano; una búsqueda que ha alcanzado cotas casi inconcebibles en el último par de décadas. Pero ¿qué sentido tiene la caza de números primos cada vez mayores?

El papiro matemático de Amhes. Crédito: Paul James Cowie
El papiro matemático de Ahmes. Crédito: Paul James Cowie

La definición de número primo es tan simple que se aprende en la enseñanza primaria: es aquel número natural mayor que 1 que solo tiene una división exacta por 1 y por sí mismo. De hecho, esta aparente simplicidad es parte de su atractivo, según señala a OpenMind el matemático de la Universidad Nacional de Australia Adrian Dudek: “Pienso que la fascinación por los números primos viene del hecho de que su descripción es tan elemental, pero increíblemente difícil de analizar. Un niño pequeño puede entender qué hace primo a un número, y sin embargo se han invertido vidas enteras en investigación matemática tratando de resolver algunos de los problemas en este campo”.

El primer matemático que se fijó específicamente en esta materia fue el griego Euclides, quien hacia el 300 a. C. demostró por primera vez que los números primos son infinitos. Un siglo más tarde, el también griego Eratóstenes creó un método de cribado que permite identificar todos los números primos de una lista limitada, sencillamente tachando múltiplos.

Los primos de Mersenne

Después de los griegos, solo al finalizar la Edad Media renació el interés por los números primos. A comienzos del siglo XVII, el monje francés Marin Mersenne definió los primos que llevan su nombre, obtenidos como Mp = 2p – 1. Si p es un número primo, es posible, aunque no seguro, que Mp también lo sea. Ya en 1588 el italiano Pietro Cataldi había demostrado que 219 – 1 = 524287 es primo, estableciendo un récord para su época. Los primos de Mersenne se convirtieron en el objetivo preferente de los matemáticos gracias a pruebas como el test de primalidad de Lucas-Lehmer, que facilita la comprobación. El propio Édouard Lucas, matemático francés, demostró en 1876 que 2127 – 1 es primo. Este número de 39 dígitos continúa siendo el mayor primo descubierto mediante cálculos manuales.

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El monje francés Marin Mersenne definió los primos que llevan su nombre: Fuente: Wikimedia

En 1951 comenzaron a utilizarse las computadoras para calcular nuevos números primos aún más grandes. Aquel año se marcó un nuevo récord con un número de 79 dígitos, pero esta cifra comenzó a crecer rápidamente con los avances en computación. En 1989 el mayor número primo tenía 65.087 dígitos; diez años después, el primo de Mersenne M6972593 alcanzaba los 2.098.960 dígitos.

El gran salto desde los miles a los millones de dígitos tuvo un principal responsable. En 1996 el estadounidense George Woltman, del Instituto Tecnológico de Massachusetts, fundaba Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), un proyecto de computación distribuida que busca nuevos primos de Mersenne y en el que cualquier usuario puede participar descargando el software Prime95, creado por Woltman.

Desde entonces, todos los nuevos primos han sido descubiertos por usuarios de GIMPS. La plusmarca actual la ostenta el que hace el número 51 de los primos de Mersenne conocidos hasta ahora. Este auténtico coloso, M82589933, descubierto el 7 de diciembre de 2018 por el programador de Florida Patrick Laroche, alcanza la inimaginable cota de los 24.862.048 dígitos; si alguien pretendiera imprimirlo en papel, tendría que hacerse antes con una provisión de casi 10.000 folios.

Y la búsqueda no se detiene. Según señala Woltman a OpenMind, “GIMPS seguirá progresando en los próximos años”. “Nuestro avance depende del número de usuarios y de las mejoras en el hardware”. Claro que para los cazadores puede haber una recompensa: GIMPS concede premios de 3.000 dólares a los nuevos hallazgos, y tanto el proyecto de Woltman como sus participantes optan a los galardones de Electronic Frontier Foundation, que actualmente ofrece una bolsa de 150.000 dólares a quien supere los cien millones de dígitos.

La utilidad de los primos gigantes

Pero dejando de lado el incentivo económico o los titulares, ¿qué motiva esta búsqueda? Para los matemáticos, la importancia de los números primos es indiscutible; dado que el resto de los números naturales se descomponen en un producto de primos, estos se consideran los bloques de construcción en la teoría de números. “Si quieres entender un edificio, cómo reaccionará a una tormenta o un terremoto, debes saber primero de qué está hecho”, señala a OpenMind el matemático de la Universidad de Tennessee Chris Caldwell, descubridor de números primos y autor de la web The Prime Pages, que mantiene una lista de los 5.000 mayores conocidos. “Los primos son bellos por su ubicuidad, su miríada de usos y lo que parece su distribución aleatoria”. Además, están en el corazón de problemas matemáticos tan célebres como la conjetura de Goldbach o la hipótesis de Riemann.

Sin embargo y pese a la pureza teórica defendida por los matemáticos, lo cierto es que los números primos también han aportado grandes utilidades prácticas a la humanidad, como el comercio electrónico. En 1977, tres investigadores diseñaron la criptografía RSA (iniciales de Rivest, Shamir y Adleman), basada en el producto conocido de dos números primos grandes, y que solo puede descifrar quien conoce los factores. Este tipo de encriptación, llamada asimétrica o de clave pública, se utiliza para el cifrado en internet, por ejemplo en la firma digital, y es la aplicación actual más importante de los grandes números primos. Sin embargo, solo se emplean números con unos cuantos cientos de dígitos; sería impensable utilizar para ello los gigantes conocidos hoy.

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3248 números primos entre los números del 0 al 30029. Crédito: Niek Sprakel

Así pues, ¿tienen algún objeto concreto estos colosos numéricos? Para el matemático de la Universidad de California en Santa Cruz Martin Weissman, la búsqueda de primos gigantes “es interesante, pero no muy importante”, más allá de estimular el interés por las matemáticas. “Si alguien encontrase un nuevo algoritmo para determinar rápidamente si un número con millones de dígitos es primo, eso sería interesante para mí”, dice a OpenMind. Para Weissman, problemas clásicos como la hipótesis de Riemann centrarán el interés en el campo de los números primos en las próximas décadas.

Pero aunque tecnologías como la Inteligencia Artificial o los ordenadores cuánticos rompan las actuales barreras en la computación, “es muy improbable que los números primos gigantes lleguen a usarse del mismo modo que se usan actualmente los primos grandes”, apunta a OpenMind el matemático de la Universidad de Portsmouth Ittay Weiss. Y ello no solo por la dificultad de computarlos, sino que además no aportarían nada relevante. Con todo, Weiss especula con la posibilidad de que estos números puedan utilizarse para probar nuevas computadoras o algoritmos, como se hace actualmente con millones de decimales de pi. “Quizá los primos gigantes puedan servir para un propósito similar”, sugiere.

En definitiva, y según Woltman, “el motivo de la búsqueda es principalmente solo por diversión”. “Hay un gran gozo en descubrir algo nuevo, interesante y extremadamente raro. Al ser humano le encanta romper récords, como construir el coche más rápido, explorar nuevos territorios como el espacio exterior, o desafiarse a uno mismo como escalar el Everest”. Y, como dice Caldwell, “el viaje es a menudo más importante que el destino”

Javier Yanes

@yanes68

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