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17 junio 2017

Los secretos matem√°ticos de Escher

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Un joven, dentro de una galer√≠a de arte, observa un cuadro del puerto de Malta. Entre los edificios pintados del malec√≥n aparece la galer√≠a en la que est√° el joven, con el propio joven mirando, de nuevo, un cuadro de ese mismo puerto mediterr√°neo. En el que, una vez m√°s, aparecen los edificios de Malta con la galer√≠a y el joven. Esta composici√≥n infinita, llamada Galer√≠a de grabados, es del dibujante holand√©s M. C. Escher (17 de junio de 1898-27 de marzo de 1972). Escher distorsiona tambi√©n esta repetici√≥n sin fin, que rota y se tuerce, adquiriendo formas imposibles. El impacto de la obra ser√≠a perfecto, sino fuera porque justo en el centro de la imagen, entre las construcciones mediterr√°neas y las ventanas de la galer√≠a, hay una mancha circular blanca. Un vac√≠o, sobre el que Escher estamp√≥ su firma. La litograf√≠a estaba terminada. Era el a√Īo 1956. Tuvieron que pasar casi cincuenta a√Īos, hasta que un matem√°tico de la Universidad de Leiden en Holanda consiguiera completar la obra.

Galería de Grabados de M.C. Escher. Crédito: The Escher Foundation Collection

La primera vez que el profesor Hendrik Lenstra se encontr√≥ con la litograf√≠a de Escher estaba en un vuelo de San Francisco a Amsterdam. La reproduc√≠a la revista del avi√≥n. Lenstra aprovech√≥ el viaje para tratar de encontrar la soluci√≥n al centro del puzle. ‚ÄúMe preguntaba qu√© pasar√≠a si continuaban las l√≠neas hacia dentro. ¬ŅHab√≠a alg√ļn problema matem√°tico que no se pod√≠a resolver?‚ÄĚ, explic√≥ el profesor en una entrevista a The New York Times. ‚ÄúSuelo preguntarme qu√© estructuras hay detr√°s de las im√°genes. ¬ŅC√≥mo podr√≠a yo, un matem√°tico, hacer un cuadro como este?‚ÄĚ. La respuesta a estas preguntas no lleg√≥ en las horas de vuelo, as√≠ que Lenstra decidi√≥ embarcarse en una investigaci√≥n de dos a√Īos en la que para desentra√Īar el c√≠rculo vac√≠o de Galer√≠a de grabados deb√≠a descifrar tambi√©n al propio Escher.

Sin conocimientos matem√°ticos formales

Maurits Cornelis Escher nunca fue un estudiante sobresaliente y sus conocimientos matem√°ticos formales se reduc√≠an a los que ten√≠a de la educaci√≥n superior. Comenz√≥ a estudiar arquitectura, pero lo abandon√≥ para centrarse en su carrera de artista gr√°fico. A pesar de esta carencia te√≥rica, las matem√°ticas y la geometr√≠a son un elemento clave de su trabajo. El holand√©s estaba tan interesado en conceptos como la teselaci√≥n y la divisi√≥n regular del plano ‚ÄĒque descubri√≥ en la Alhambra de Granada en 1936 donde pas√≥ d√≠as copiando cuidadosamente los dise√Īos geom√©tricos que decoraban el palacio‚ÄĒ que los convirti√≥ en un elemento central de su obra. Decenas de sus grabados est√°n rellenos de repeticiones de figuras animadas cuyos espacios crean nuevas formas.

Escher reflejado en su “Mano con esfera reflectante”. Cr√©dito: M.C. Escher

M√°s adelante, Escher se pregunt√≥ si ser√≠a posible ir un paso m√°s all√° y recubrir el plano con figuras que, manteniendo su forma y engarzadas unas a otras, fueran cambiando de manera regular de tama√Īo. La soluci√≥n de c√≥mo llevar a cabo estas construcciones la encontr√≥ en el art√≠culo matem√°tico de H.S.M. Coxeter Crystal Symmetry and Its Generalizations‚ÄĚ A partir de estas investigaciones cient√≠ficas ‚ÄĒde las que el propio artista reconoc√≠a no terminar de entender todos los conceptos‚ÄĒ, Escher desarroll√≥ un conocimiento de las matem√°ticas en gran medida visual e intuitivo.

En la siguiente fase, sus composiciones empezaron a explorar errores de perspectiva en estructuras que, a primera vista, parecían plausibles, pero que estudiadas más de cerca resultaban imposibles de crear. En 1954, en el Congreso Internacional de Matemáticos de Amsterdam, se expusieron unos grabados suyos. Desde entonces, el diálogo que mantuvo con matemáticos y cristalógrafos fue una fuente de inspiración para sus construcciones imposibles, sus ilusiones ópticas y sus representaciones del infinito.

La unión de arte y matemáticas

Esta intersecci√≥n entre matem√°ticas y artes cristaliza en Galer√≠a de grabados. En la litograf√≠a, Escher desaf√≠a las leyes de la perspectiva al crear una repetici√≥n infinita y distorsionada para la que no ten√≠a ni los medios ni los c√°lculos para completarla. Para descifrarla, el profesor Lenstra identific√≥ lo que llam√≥ el efecto Droste ‚ÄĒen homenaje a una famosa imagen publicitaria del chocolate holand√©s‚ÄĒ: si la galer√≠a donde est√° el joven vuelve a reproducirse en el interior del cuadro, deber√≠a ocurrir lo mismo tras el borr√≥n blanco. Tras una conversaci√≥n con el amigo del artista y autor del libro El espejo m√°gico de M.C. Escher, Hans de Rijk, descubri√≥ que Escher trataba de hacer una expansi√≥n circular continua en forma de anillo cerrado, sin principio ni fin. As√≠, en la distorsi√≥n de Escher, el tama√Īo de los cuadrados de la trama crec√≠an seg√ļn se mov√≠an desde el centro hacia afuera y decrec√≠a en sentido inverso. Un bucle similar al que ocurre al quitar el tap√≥n de un lavabo lleno de agua. Esa era la estructura detr√°s de la imagen.

Para encontrar los valores exactos que Escher hab√≠a utilizado en la distorsi√≥n de su litograf√≠a, el equipo de Lenstra estuvo meses probando ‚ÄĒhasta acertar‚ÄĒ y combinando rotaciones, funciones exponenciales y logar√≠tmicas, junto a reducciones de tama√Īo o escala. Una vez con la f√≥rmula exacta, los pasos para rellenar el vac√≠o fueron sencillos gracias a la tecnolog√≠a actual: planchar el dibujo de Escher para llevarlo a una cuadr√≠cula plana, rellenar el agujero en el modelo plano para completar la escena y, por √ļltimo, devolver su forma original haciendo actuar sobre ella las transformaciones que ya hab√≠an identificado. Dos a√Īos despu√©s, Lenstra y su equipo resolv√≠an uno de los grandes misterios de uno de los artistas m√°s enigm√°ticos. Sin embargo, la respuesta siempre hab√≠a estado ah√≠: Escher era un genio, dentro de un genio, dentro de un genio…

Por Beatriz Guillén

@BeaGTorres

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