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21 agosto 2018

La revolución matemática que se gestó en una granja de ovejas

Física | Grandes Personajes | Historia | Matemáticas
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El joven Newton retornó a los 23 años a su pequeña aldea natal de Woolsthorpe, en Lincolnshire (Inglaterra), huyendo de la peste bubónica que provocó el cierre de la Universidad de Cambridge y que llegó a matar a la quinta parte de la población de Londres. Y en la granja de ovejas de su familia, sin apenas contacto con el mundo exterior, realizó una de las hazañas intelectuales más asombrosas de la historia.

En tan solo dos años, de 1665 a 1666, Newton desarrolló simultáneamente el cálculo diferencial e integral, además de sus teorías sobre la naturaleza de la luz y sobre la fuerza de la gravedad. Las nuevas herramientas matemáticas y físicas ideadas por el inglés en aquel corto periodo revolucionaron la ciencia de su época y son la base del mundo tecnológico actual.

Retrato de Isaac Newton, una copia de una pintura de Sir Godfrey Kneller. Fuente: Wikimedia

El cálculo infinitesimal, aunque se engloba estrictamente en el ámbito matemático, ha resultado ser un lenguaje poderoso que permite describir las leyes de la naturaleza con una precisión asombrosa. Con las ideas de Isaac Newton (25 de diciembre de 1642 – 20 de marzo de 1726, según el calendario vigente entonces en Inglaterra) hoy se estudian el movimiento de nubes, los mares, las órbitas de satélites, las infecciones víricas, el diseño de vehículos, el crecimiento económico…

Newton concibió dos conceptos matemáticos revolucionarios: el de derivada e integral. La derivada se relaciona con la evolución en el tiempo de magnitudes como la velocidad y la aceleración. Es una tasa de cambio instantánea, que indica de qué manera (cómo de rápido) se están modificando las magnitudes. En geometría, la derivada permite calcular las pendientes de curvas y, en consecuencia, la recta tangente a una curva dada.

Por otro lado, la integral se emplea para calcular áreas y volúmenes, así como encontrar centros de gravedad de cuerpos. Lo sorprendente es que ambas nociones están relacionadas por una de las más bellas expresiones de las matemáticas, el teorema fundamental del cálculo infinitesimal, que afirma que la derivación y la integración son operaciones inversas; es decir, al aplicarlas sucesivamente se vuelve al valor de inicio.

La granja de la familia de Newton, en Woolsthorpe. Crédito: Hel-hama

En 1669 Newton entregó a su mentor, Isaac Barrow, un manuscrito, De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, en el que aparecen por primera vez las bases del nuevo cálculo diferencial. En él, Newton expone un método aproximado para resolver ecuaciones, hoy llamado método de Newton-Raphson y enuncia y demuestra una fórmula para calcular para el área encerrada por una parábola generalizada. Esta expresión ya había sido hallada antes por otro matemático inglés, John Wallis (1616-1703), pero la novedad introducida por Newton radicaba en las técnicas usadas, que él llamaba “método de las fluxiones” y el “método del inverso de las fluxiones”.

Matemáticas para estudiar el movimiento

Su trabajo era, en la práctica, la primera aplicación del teorema fundamental del cálculo infinitesimal a un ejemplo concreto, que mostraba que los métodos de las tangentes (derivadas) y las cuadraturas (áreas, es decir, integrales) estaban inversamente relacionados entre sí.

La obra más importante de Newton en este tema fue De methodis serierum et fluxionum, publicada póstumamente en 1736. Allí introducía el concepto de fluente, como cantidad que varía respecto al tiempo, y el de fluxión, como su velocidad o la derivada con respecto al tiempo. Newton, además, desarrolló los algoritmos para el cálculo de fluxiones: las que actualmente conocemos como reglas para derivar sumas, productos, cocientes…, que estudiamos en los primeros cursos de bachillerato.

Tapa original de The method of fluxions and infinite series publicada en 1736. Fuente: Wikimedia

También mostró cómo calcular el área de una curva, lo que actualmente se llama calcular la primitiva de una función (y que en su terminología era “obtener la fluente de una fluxión”). Asimismo, Newton aplicó su recién creado cálculo a problemas de máximos y mínimos. Y así logró resolver, uno a uno, los problemas que habían inquietado a todos sus antecesores: científicos como los italianos Bonaventura Cavalieri y Evangelista Torricelli; los franceses Gilles de Roberval, René Descartes, Pierre de Fermat, entre muchos otros, habían realizado trabajos en esa línea, dedicados a resolver problemas concretos de la física, pero sin haber llegado a encontrar una solución general como hizo Newton.

Sus dos nuevas herramientas (derivada e integral) se sumaban a las operaciones elementales de las matemáticas y eran idóneas para analizar el movimiento — y, por tanto, casi todos los fenómenos físicos. En base a estas ideas, Newton desarrolló toda una matemática nueva, el análisis matemático, que hoy en día sigue siendo una de las ramas más activas en la investigación.

Una amarga polémica científica

Sin embargo, el joven Newton no puso mucho empeño en difundir sus resultados. Aunque entregó su primer tratado a Isaac Barrow en 1669 y enviaron algunas copias a diferentes círculos matemáticos de Inglaterra, no fue publicado formalmente hasta 1711. Mientras tanto otro matemático, Gottfried Leibniz, había desarrollado una teoría equivalente. Cuando Newton recibió noticias de estos trabajos, tardó poco en reclamar su autoría del cálculo infinitesimal, lo que dio lugar a una amarga polémica que involucró incluso a sociedades científicas.

Monumento a Newton en la Abadía de Westminster, en Londres. Crédito: Tibor Nemes

Lo cierto es que es posible que ambos llegaran a ideas parecidas en el mismo período. Ya a principios del siglo XVII se habían empezado a desarrollar métodos matemáticos que involucraban procesos infinitos para calcular áreas delimitadas por curvas o volúmenes, o para encontrar máximos y mínimos de ciertos problemas. El propio Newton admitió, en una carta a su colega (y rival) Robert Hooke: “Si he logrado ver más lejos, ha sido porque he subido a hombros de gigantes”.

Modestia aparte, el genio de Newton dejó una huella imborrable en el desarrollo de la civilización moderna, y su figura intelectual no ha tenido un igual, tal y como se lee en su epitafio: “¡Mortales, congratulaos de que un hombre tan grande haya existido para honra de la raza humana!”.

David Martín de Diego y Ágata Timón

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