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11 enero 2019

Fermat y el mayor problema de la historia de las matemáticas

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Hubo un tiempo en el que las matemáticas florecieron gracias a unas apasionantes relaciones por carta. Fue en Francia, a comienzos del siglo XVII, cuando se extendió entre los intelectuales la costumbre de retarse a resolver problemas y enigmas numéricos. Y de aquellas cartas y desafíos fueron naciendo nuevas disciplinas de esa ciencia, como la teoría de probabilidades o el cálculo infinitesimal. En el centro de ese intenso intercambio postal estuvo Pierre de Fermat, un aficionado que llegó a convertirse en uno de los matemáticos más geniales de todos los tiempos. Tanto por sus descubrimientos como por un problema final que dejó sin resolver y que durante más de tres siglos desquició a todos los que intentaron resolverlo —hasta que un niño leyó la historia del Último Teorema de Fermat y soñó con encontrar la solución.

Hijo de un adinerado mercader de cuero, Pierre de Fermat (17 agosto 1601 – 12 enero 1665) estudió derecho civil en la Universidad de Orleans y fue progresando en la carrera judicial hasta alcanzar una posición acomodada en el Parlamento de Toulouse, que le permitió dedicarse a su gran afición. Por las tardes, Fermat dejaba a un lado las leyes y se dedicaba a profundizar en sus investigaciones matemáticas. Estudiaba los tratados de los sabios de la Grecia clásica y juntaba aquellas viejas ideas con los nuevos métodos de álgebra de François Viète (1540–1603). Fermat encontraba así problemas con los que retaba por carta a otros estudiosos como Descartes y Pascal.

Sello con la imagen del matemático Pierre de Fermat y la formulación de su Último Teorema. Crédito: La Poste

El resultado de sus peleas postales con el filósofo René Descartes inspiró a Newton y Leibniz para desarrollar el cálculo infinitesimal. Más adelante, en 1654, un escritor (y jugador profesional) pidió ayuda al matemático Blaise Pascal para repartir de manera justa el dinero apostado en una partida de dados interrumpida, basándose en las puntuaciones obtenidas hasta entonces. Pascal retó a Fermat a resolver el problema y juntos lo consiguieron, sentando así la base de la teoría de probabilidades.

Pura matemática, juego e ingenio

Pero las grandes contribuciones de Pierre de Fermat a las matemáticas fueron en otra rama, la teoría de números, que estudia los números enteros, las relaciones entre ellos y los patrones que siguen. Pura matemática, juego e ingenio, sin aplicaciones directas: por ejemplo, Fermat demostró que el 26 es el único número “atrapado” entre un cuadrado (52=25) y un cubo (33=27). Usó la lógica matemática para demostrar que ningún otro número entero entre cero e infinito cumple esa condición (x2+1=z= y3−1). Y desafió a sus amigos y rivales para que lo demostrasen también.

Sin embargo, este genial matemático francés tenía la costumbre de no revelar sus cálculos ni las pruebas de sus teoremas, lo que frustraba a sus adversarios: Descartes llegó a llamarle “fanfarrón”, y John Wallis se refería a él como “ese maldito francés”. En ese estilo provocador encaja una anotación que dejó escrita en 1637 en el margen de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto: “He encontrado una demostración verdaderamente maravillosa, pero este margen es demasiado estrecho para contenerla”. Esa frase acompañaba a otra afirmación manuscrita de Fermat: “Es imposible separar un cubo en dos cubos o una cuarta potencia en dos cuartas potencias o, en general, cualquier potencia mayor que la segunda en dos potencias como ella”.

En un episodio de los Simpsons, Homer parece haber encontrado un ejemplo que contradice el Último Teorema de Fermat, pero el truco solo funciona si se comprueba con una calculadora de mano corriente. Crédito: FOX

Traducido a fórmulas matemáticas, eso quiere decir que es imposible encontrar una solución a cualquier ecuación del tipo xn + yn = zn (si solo usamos números enteros positivos y además n es mayor que 2). Fermat nunca llegó a mandar por carta este desafío y tras su muerte su hijo Clément-Samuel lo encontró y publicó. Así nació la leyenda del mayor problema de la historia de las matemáticas.

El Último Teorema

A pesar de que nunca revelaba las pruebas de sus teoremas, todos y cada uno de ellos fueron demostrados por otros matemáticos durante el siglo XVIII. Todos excepto esa nota al margen, que pasó a ser conocido como el Último Teorema de Fermat. Transcurrido también el siglo XIX, nadie había conseguido aún encontrar una solución a esa ecuación —y demostrar así que Fermat estaba equivocado— ni tampoco comprobar que su teorema era correcto. Algunos grandes matemáticos como Sophie Germain llegaron a encontrar demostraciones parciales (para valores concretos de n), pero ninguno alcanzó la demostración general.

Andrew Wiles junto a una estatua de Pierre de Fermat en octubre de 1995. Crédito: Klaus Barner

Las nuevas teorías matemáticas no daban pistas de cómo abordar el problema. Y durante el siglo XX el desarrollo de los ordenadores fue dejando cada vez más claro que Fermat tenía razón, pues en la práctica los cálculos informáticos seguían siendo incapaces de encontrar números que encajaran en esa ecuación, y además para valores de n cada vez mayores. Pero era necesaria una prueba teórica definitiva. En 1963 un niño de 10 años llamado Andrew Wiles leyó fascinado esa historia y se propuso dedicar su vida a demostrar el Último Teorema de Fermat. Dos décadas después, Wiles se había convertido en un reputado matemático; y entonces decidió recuperar su sueño de niño: comenzó a investigar en secreto la resolución del problema, una tarea a la que dedicó siete años.

Andrew Wiles completó el 19 de septiembre de 1994 su demostración del Último Teorema de Fermat, después de subsanar un error que mantuvo en vilo a la comunidad científica durante un año. Lo logró usando unas innovadoras técnicas matemáticas, que no existían en el siglo XVII, lo cual deja aún abiertas más preguntas: ¿Tenía de verdad Fermat una prueba de su teorema, o era solo un farol? ¿Es posible demostrarlo sin las sofisticadas matemáticas de hoy en día?

Francisco Doménech
@fucolin

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