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28 abril 2014

¿Es la hipótesis de Riemann un reto social?

Ciencia | Emprendimiento | Empresa | Internet
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Manuel de León, director del ICMAT, reflexiona sobre la manera de medir la relevancia social de los problemas científicos, ahora tan marcada por el impacto económico inmediato. Presenta uno de los grandes problemas matemáticos abiertos, la hipótesis de Riemann, que trata de la relación entre una función sobre los números complejos, y la distribución de los números primos, y que, pese a su apariencia abstracta, de ser resuelta, cambiaría la manera de enviar información a través de internet.

En 1900 se celebró en París un evento que tuvo una enorme importancia para el futuro de las matemáticas, el segundo Congreso Internacional de Matemáticos (ICM en sus siglas inglesas). En él, el célebre matemático alemán David Hilbert enunció una lista con 23 problemas no resueltos que según él, configurarían el trabajo de los matemáticos en el próximo siglo. El problema número ocho incluía la llamada hipótesis de Riemann, formulada por el matemático que le da nombre, unas décadas antes.

 Bernhard Riemann fue un matemático alemán, profesor en la Universidad de Gotinga, lo que fue el centro de excelencia matemática, del que formaron parte Gauss, Riemann, Klein, Hilbert, Minkowski, Heisenberg, Born, Jordan, Wigner, Teller, Von Neuman y muchos otros grandes nombres de la historia de la ciencia. En 1859, al estudiar como se distribuían los números primos, Riemann observó una relación estrecha con una función definida sobre los números complejos, la denominada función zeta de Riemann. Intuyó que existía una cierta correspondencia entre los ceros de esta función (es decir, los puntos donde se anula) y los números primos.

Recordemos que los números complejos aparecen para dar solución a las raíces de números negativos, y la unidad imaginaria i es raiz cuadrada de (-1); dicho en otras palabras, los números complejos se identifican a puntos de un plano de manera que estos se pueden sumar o multiplicar según una cierta regla. Además, todo número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria. Dicho esto, Riemann conjeturó que la parte real de todo cero (no trivial) es ½. .

Probar la hipótesis de Riemann o encontrar un contraejemplo daría mucha información sobre los números primos. Los números primos son aquellos que solo se pueden dividir por sí mismos y por la unidad: 2, 3, 5, 7, 11, 13,… Su importancia radica en que, metafóricamente, son los ladrillos con los que se construyen todos los números. Así se ve en los ejercicios de secundaria, en los que se pide a los estudiantes que descompongan un número en producto de primos (a veces con potencias, como por ejemplo 72 = 2^3 x 3^2).

Tal y como probó Euclides con un ingenioso argumento de reducción al absurdo, los números primos son infinitos. Pero su distribución es, por ahora un misterio. No se sabe cuál es su estructura dentro de los números naturales. Si vamos avanzando en la lista de números, vamos viendo que parecen rarificarse y cada vez aparecen con menos frecuencia.

Además de su interés matemático, los números primos son muy importantes en las comunicaciones digitales. El algoritmo criptográfico RSA desarrollado por Rivest, Shamir y Adleman en 1977, está basado precisamente en el problema de la factorización de números enteros en números primos. Los mensajes enviados se representan mediante números, y el funcionamiento se basa en el producto, conocido, de dos números primos grandes elegidos al azar y mantenidos en secreto.

Como en todo sistema de clave pública, cada usuario posee dos claves de cifrado: una pública y otra privada. Cuando se quiere enviar un mensaje, el emisor busca la clave pública del receptor, cifra su mensaje con esa clave, y una vez que el mensaje cifrado llega al receptor, este se ocupa de descifrarlo usando su clave privada. Esto se basa en un teorema de otro gran matemático, Leonard Euler. Para romper la clave sería necesario encontrar los factores primos, pero, descomponer un número en sus factores, cuando estos tienen alrededor de 100 dígitos, es una verdadera tarea titánica.

Así que los números primos son importantes para los negocios, de hecho, ¡son vitales! Las transacciones comerciales por internet dependen de ellos. Y en particular, conocer su distribución, que derivaría de resolver la Hipótesis de Riemann, también es crucial.

Sin embargo, hasta ahora, y a pesar de los intentos de los mejores matemáticos, nadie ha podido con este problema. Hasta el gran Alan Turing trató de resolverlo construyendo una máquina para este propósito, pero fracasó. La conjetura se ha convertido en uno de los problemas más interesantes en matemáticas, y después de ser seleccionado por Hilbert, también ha merecido ser elegido como uno de los siete problemas del milenio, con un millón de dólares para el que consiga desvelar el misterio. El propio Hilbert, al ser preguntado  qué haría si se despertara habiendo dormido quinientos años, contestó que su primera pregunta sería si la hipótesis de Riemann había sido probada.

Pero ahora vivimos en un tiempo en el que la relevancia social la marcan los llamados mercados. Y esto se refleja también en las convocatorias para financiar la ciencia. En el próximo programa marco Horizonte 2020, que tiene su reflejo en los planes nacionales de los países europeos, el paradigma es “de la idea al mercado”. Pero ¿las ideas no pueden tener valor, simplemente como ideas, sin que nadie pensase en llevarlas al mercado? La hipótesis de Riemann y en general la teoría de números son ejemplos de que las ideas no deben financiarse solo en función de su potencial transformación al mercado. Godfrey H. Hardy, en su Apología de un matemático, afirmaba que él era un matemático puro, y se vanagloriaba de que nunca había hecho nada útil; bueno, ya hemos visto que la teoría que trata de los números está detrás de los mercados…

Por eso, cuando hablemos de retos sociales, quiero reivindicar la hipótesis de Riemann como uno de ellos, aunque los boletines oficiales no la incluyan.

Manuel de León

(CSIC, Real Academia de Ciencias, Academia Canaria de Ciencias) Profesor de Investigación del CSIC  y Miembro del Comité Ejecutivo de IMU.

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