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31 mayo 2018

Eratóstenes: Midiendo lo imposible

Aritmética | Grandes Personajes | Historia | Matemáticas
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Unos 1700 años antes de la famosa expedición de Magallanes y Elcano, que tardó más de tres años en circunnavegar la Tierra para constatar que no es plana, sino redonda, el sabio griego Eratóstenes logró hacer esa misma comprobación y además estimar su diámetro con un sencillo razonamiento matemático, sin salir de la ciudad de Alejandría y con una precisión sorprendente. La potencia de las matemáticas desarrolladas por los griegos clásicos fue la clave para realizar esta hazaña y conseguir medir lo imposible.

Eratóstenes nació en Cirene, ciudad ubicada en la actual Libia, hacia el 276 a. C. y en el año 236 a. C se convirtió en director de la prestigiosa Biblioteca de Alejandría. Hizo aportaciones en ámbitos tan aparentemente dispares como la poesía, la filosofía, las matemáticas, la astronomía, la historia o la geografía, entre otras. Como matemático es muy conocido por la llamada criba de Eratóstenes, que permite aislar y determinar todos los números primos hasta cierto número natural dado y que se sigue empleando hoy en día.

Eratosthenes enseñando en Alejandría. Una pintura de Bernardo Strozzi. Fuente: Musée des beaux-arts de Montréal

Además, supo aplicar conocimientos matemáticos básicos, como el cálculo de la longitud de un arco de circunferencia —que ahora se estudia en secundaria— para aproximar de forma muy precisa el radio de la Tierra, solo con instrumentos rudimentarios. En concreto, Eratóstenes observó la sombra que producían los rayos del Sol durante en el solsticio de verano en dos lugares suficientemente alejados uno del otro: Siena (actualmente la ciudad egipcia de Asuán) y Alejandría, situada al norte de Siena siguiendo el mismo meridiano.

En el mediodía solar de ese día, en un profundo pozo de Siena se podía ver por un brevísimo instante el reflejo del agua contenida, lo que mostraba que los rayos caían perpendicularmente. Esto es así en el momento del solsticio de verano y en el trópico de Cáncer —en ese paralelo terrestre ubicó Eratóstenes a Siena—. Sin embargo, en el mismo momento, en Alejandría —situada unos 7 grados más al norte— incidían de forma ligeramente transversal, ya que los obeliscos o un simple bastón clavado en el suelo proyectaban una pequeña pero perceptible sombra. Esta ya es de por sí es una prueba sencilla de que la Tierra no puede ser plana, ya que si lo fuese, también en Alejandría, a esa misma hora, los rayos tendrían que haber caído perpendicularmente y no dar ninguna sombra.

Una sencilla regla de tres

Eratóstenes partía de un modelo de tierra redonda, con forma de esfera, por lo que sabía que la curvatura de la Tierra provocaría ese efecto. Ideó un método para calcular el diámetro de la esfera con solo dos datos: el ángulo de incidencia del sol en Alejandría en el Solsticio de verano (que es el mismo que la sección de circunferencia que definen las dos ciudades) y la distancia entre ellas. De esta manera, con una sencilla regla de tres podría calcular la longitud de la circunferencia de la Tierra. Si el ángulo de incidencia da lugar a una longitud de arco de circunferencia igual a la distancia entre Alejandría y Siena, entonces a 360 grados (los de la circunferencia completa) le corresponde la longitud total.


Este vídeo explica como Eratóstenes calculó la circunferencia de la Tierra. Crédito: Business Insider

Para calcular el ángulo de incidencia de los rayos del sol en Alejandría en el solsticio de verano tuvo que emplear nociones de trigonometría, que ya eran conocidas por los matemáticos griegos, aunque usando métodos muy diferentes a los de ahora. En la terminología actual, ese ángulo de incidencia es el valor de la arcotangente de la división entre la sombra de un objeto y su altura (véase la Figura 2). Eratóstenes obtuvo el valor cercano a 7,2 grados.

Para terminar su cálculo necesitaba una estimación suficientemente precisa de la distancia entre las dos ciudades. La leyenda cuenta que Eratóstenes sabía que un camello tardaba cincuenta días en llegar de una ciudad a otra, recorriendo unos cien estadios por día, así que estimó la distancia en unos cinco mil estadios. La precisión de su cálculo es una incógnita, pues el estadio no es una unidad de medida con un valor claro. Pero si consideramos como medida de un estadio gla correspondiente al estadio egipcio (157,50 metros), se obtendría una distancia aproximada de 787,5 km. Sustituyendo estos valores en la regla de tres anterior se obtiene una longitud de circunferencia de 39.375 km. Esto supone una excelente aproximación del valor auténtico, que son unos 40.075 km en el Ecuador.

Un modelo acertado de la Tierra

Eratóstenes tenía un modelo de la Tierra y el sistema solar bastante acertado, aunque hizo una serie de asunciones que no son del todo exactas (la Tierra no es una esfera, los rayos del Sol no son paralelos, Siena no está justo en el trópico de Cáncer…). Con este mismo método y medios actuales se obtienen datos extremadamente cercanos al auténtico. Este valor se estima hoy usando satélites y sistemas de geolocalización. Estas precisas medidas permiten detectar hasta pequeñas modificaciones (de centímetros) en la superficie de la Tierra.

Un mapa del mundo conocido según Eratóstenes. Fuente: Wikimedia

Sin embargo, muchos siglos antes, sin apenas tecnologías, usando el ingenio y las matemáticas desarrolladas por sus antecesores (Pitágoras, Arquímedes, Euclides, Tales de Mileto…), otros griegos clásicos realizaron cálculos asombrosos, como calcular la distancia de la Tierra al Sol, predecir eclipses y el movimiento de los planetas conocidos, e incluso proponer que el Sol era el centro del Universo y no la Tierra, como hizo Aristarco de Samos. Con estos avances fueron más allá del conocimiento experimental, basado solo en mediciones directas, a una concepción mucho más ambiciosa del conocimiento científico, que permitía conocer más allá de nuestra propia percepción inmediata.

David Martín de Diego y Ágata Timón

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