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19 abril 2018

Cuadrados mágicos: cuando arte y matemáticas cuadran sus objetivos

Arte | Historia | Lógica | Matemáticas
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Los cuadrados mágicos constituyen uno de los más fascinantes artificios matemáticos. Y también uno de los más reflejados por el arte, desde los grabados de Durero hasta la Sagrada Familia de Gaudí. Esto es algo motivado por las mágicas propiedades —tanto las puramente numéricas, como las adivinatorias y de protección— que se les han otorgado a lo largo de la historia.

Los cuadrados mágicos son disposiciones numéricas de números naturales (o enteros positivos) de n filas y n columnas (o lo que es lo mismo, de orden n), y donde los números que los integran van del 1 al n2. La magia surge porque la suma de los números presentes en cada fila, en cada columna y en cada diagonal principal da el mismo resultado, denominado “constante mágica”.

Es probable que el cuadrado mágico más (re)conocido sea el incluido por Albrecht Durer (o Durero) en su grabado “Melencolia”. Es un cuadrado de orden 4 con una gran presencia de propiedades mágicas, ya que la suma de cualquiera de sus cuatro cuadrantes da también como resultado su “constante mágica”, 34. Y lo mismo sucede con la suma de los cuatro números centrales. Además, los cuadros centrales de la fila inferior están ocupados por el 15 y el 14, representando el año en que fue realizada la obra, 1514.

Con todas estas pistas, se puede completar el cuadrado mágico de Durero:

Cuadrado de Durero, en en su grabado “Melencolia”. Fuente: Wikimedia

El cuadrado Lo Shu

El de Durero posiblemente sea el más conocido, así como la primera representación de cuadrado mágico en Europa, pero lo cierto es que para cuando el artista lo representó, los cuadrados mágicos contaban ya con una larga historia.

La primera referencia se remonta a la China del año 2200 a.C. Según las leyendas sobre el Emperador Yu, en la China antigua hubo un gran diluvio. La gente ofreció sacrificios al dios de uno de los ríos inundados, el río Luo, y una tortuga emergió con un extraño patrón punteado en su caparazón, el cuadrado Lo Shu. Una cuadrícula de 3×3 donde los números estaban representados por agrupaciones de puntos.

En el cuadrado Lo Shu, los números estaban representados por agrupaciones de puntos. Fuente: plaza.ufl.edu

De la mano del carácter adivinatorio y protector que se les otorgaba, los cuadrados mágicos habrían viajado desde China por el resto de Asia. Y desde allí hasta Egipto, donde fueron incluidos en ropas y ornamentos a modo de talismanes.

Se cree que los primeros en profundizar y estudiar sus propiedades matemáticas fueron los estudiosos árabes y del mundo islámico, quienes los dieron a conocer en Europa en el siglo XV, donde calaron de inmediato atendiendo a su supuestas propiedades mágicas. Primero las vinculadas con la adivinación, la alquimia y la astrología, posteriormente las puramente matemáticas.

El cuadrado semimágico de Franklin

El político estadounidense Benjamin Franklin también fue un excelso creador de cuadrados mágicos de elevado orden. En 1750 publicó un cuadrado semimágico de orden 8 y con una “constante mágica” de 260. Se le dice semimágico porque a mayores de sus atributos ordinarios, cada media fila y media columna suman asimismo 130, es decir, media constante mágica. Y además la suma de las cuatro esquinas y las cuatro casillas centrales da también 260. Con esa información puede completarse:

Cuadrado Franklin

En la fachada de la Sagrada Familia

Y ejemplo de que los cuadrados mágicos nunca perdieron su esencia mística o divina es el hecho de que Antonio Gaudí incorporase en la fachada de la Sagrada Familia dedicada a la pasión un cuadrado pseudomágico de orden 4 con una constante mágica de 33, la edad de Cristo. En este caso es pseudomágico porque en lugar de incluir los 16 primeros números, hay dos que faltan (12 y 16) y dos que se repiten en casillas consecutivas. Sabiendo esto, puedes intentar completarlo.

En la fachada de la Sagrada Familia hay un cuadrado pseudomágico de orden 4 con una constante mágica de 33. Crédito: María Rosa Ferre

A continuación, las soluciones a los tres retos planteados:

Miguel Barral
@migbarral

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