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29 junio 2018

El imprevisible poder de las matemáticas

Grandes Personajes | Historia | Matemáticas
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Muchos matemáticos entienden su disciplina como un arte, como una forma de expresar la belleza de un razonamiento correcto y coherente, y ese es el único fin que persiguen al estudiarla. Otros tienen como principal motivación las aplicaciones de las matemáticas. Pero independientemente de sus objetivos, el poder de los números y las fórmulas es tan fuerte que, tarde o temprano, aparecen aplicaciones que sus autores jamás habrían podido entrever. Este fue el caso de Fourier, un matemático que trabajó a las órdenes de Napoleón Bonaparte y que, sin la menor intención, dejó escritas las herramientas matemáticas que muchos años después revolucionaron la medicina y las tecnologías de la comunicación.

Retrato de Jean-Baptiste Joseph Fourier. Autor: Jules Boilly
Retrato de Jean-Baptiste Joseph Fourier. Autor: Jules Boilly

En 2018 se cumplen 250 años del nacimiento de Jean-Baptiste Joseph Fourier (21 de marzo de 1768 – 16 de mayo de 1830), quien estudió en la École normale supérieure junto a grandes matemáticos como Lagrange y Laplace y fue profesor de la Universidad Politécnica de París. También intervino activamente en la política, convencido de los principios de la Revolución Francesa e incluso llegó a participar en El Terror y a ser arrestado más tarde por ello. “Realmente, me enamoré de esta causa, en mi opinión la más grande y más hermosa que ninguna nación haya emprendido jamás”, afirmó Fourier sobre su ideal revolucionario.

En 1798 viajó junto a Napoleón en su campaña de Egipto. Tuvo un trato cercano con el emperador, que le valió para convertirse en prefecto del departamento de Isère en 1802, a su vuelta de El Cairo. Precisamente, aquellos fueron sus años más productivos científicamente. Consideraba que “la naturaleza es la fuente más importante de descubrimientos matemáticos” y en 1807 publicó su primera memoria, Sobre la propagación del calor en sólidos, en la que formulaba la ecuación del calor.

Fourier viajó con Napoleón a su campaña de Egipto. Crédito: Art Renewal Center
Fourier viajó con Napoleón a su campaña de Egipto. Crédito: Art Renewal Center

Matemáticas que cambiaron el mundo

Pero su fama se debe, sobre todo, al método que desarrolló para resolver esa ecuación (ahora llamado método de Fourier), que ha demostrado ser muy útil, potente y aplicable en otras muchas teorías matemáticas y físicas. Tanto que ahora resulta ubicuo en la ciencia y la tecnología y sus aplicaciones afectan de manera decisiva a nuestra vida cotidiana.

Hoy en día estas ideas se utilizan en los algoritmos que permiten enviar y almacenar eficientemente datos (como imágenes o música) desde los dispositivos móviles; también para procesar la información obtenida en pruebas médicas como las tomografías (TAC o TC), en las que se registra una atenuación de la intensidad de los rayos X, que gracias al método de Fourier nos revelan imágenes nítidas de los tejidos que atraviesan.

Su gran logro matemático también se usa en los filtros de sonido o de los ecualizadores musicales; o en la interpretación de las ondas sísmicas (para obtener información de las fallas tectónicas) y en la de los espectros de difracción de rayos (para discernir la estructura interna de un cristal).

Fourier's mathematical ideas are used in musical equalizers. Credit: Kai Stachowiak
Fourier’s mathematical ideas are used in musical equalizers. Credit: Kai Stachowiak

Sin embargo, cuando Fourier desarrolló sus ideas, lo hizo “solo” para entender una pregunta básica de la ciencia de entonces. Consideró el siguiente problema: en un recinto térmicamente aislado, ¿cuál es la temperatura en cada uno de sus puntos en cada instante de tiempo? La ley de conservación de la energía (en este caso del calor), junto a los conceptos de calor específico y conductividad térmica, permitió a Fourier, con la ayuda del cálculo diferencial, escribir la ecuación que rige esa evolución de la temperatura.

Las ensoñaciones de Fourier

La ecuación resultante tiene la importante propiedad de ser lineal: si conocemos varias soluciones podemos automáticamente generar otras muchas, sin más que multiplicar cada una por un número y sumar los resultados (combinaciones lineales) así obtenidos. Por tanto, Fourier creía que una buena estrategia para resolver la ecuación era encontrar un número suficiente de soluciones, de manera que sus combinaciones lineales generasen todas las demás. Partiendo de esta idea, formuló la hipótesis de que toda función puede ser expresada como una suma, o integral, de funciones trigonométricas.

Aunque en 1812 recibió el premio de la Academia Francesa de Ciencias por ese trabajo, los académicos no creyeron del todo su propuesta. Y no les faltaban razones, porque para demostrar rigurosamente las ensoñaciones de Fourier fue necesario crear, ya en el siglo XX, la Teoría de la Medida de Lebesgue y mejorar el cálculo diferencial conocido entonces.

Al mismo tiempo se extendió el campo de sus aplicaciones, desde la teoría de los números (cálculo del número de puntos del retículo en un círculo) hasta la mecánica cuántica (principio de incertidumbre de Heisenberg), dos ejemplos en los que desempeña un papel fundamental el análisis de Fourier, también llamado análisis armónico. Más allá de la ciencia pura, su impacto se extendió a múltiples campos tecnológicos. Aunque Fourier no lo pudiera prever, sus matemáticas, además de estar inspiradas en la naturaleza, se han convertido también en un instrumento poderoso para conocerla y transformarla.


Antonio Córdoba y Ágata Timón

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