Religión y ciencia encabezan la lista de libros con más éxito de la historia. Mientras la Biblia se mantiene en primera posición, sorprende que la segunda la ocupe un tratado escrito hacia el año 300 a.C. por un autor del que apenas sabemos nada. Elementos, del griego Euclides, ha sido editado más de mil veces y consta de trece volúmenes sobre geometría y aritmética, que recopilaron tres siglos de pensamiento matemático. Copérnico, Galileo, Kepler o Newton construyeron sus teorías después de aprender con este libro de texto, que aún sigue vigente y que durante muchos siglos impulsó la física y la astronomía —no solo las matemáticas.
Bajo el reinado de Ptolomeo I (367 a.C.–283 a.C.), Euclides se instaló en Alejandría. En aquella ciudad —uno de los centros intelectuales de la época, con su Biblioteca y su Museo— fundó una importante escuela matemática y escribió Elementos, cuyo original no se conserva, pero del que hay copias posteriores tanto griegas como latinas y árabes.
Según el filósofo Proclo de Licia, Euclides se había formado en la Academia de Platón, cuya influencia se aprecia en su obra, que dedica una parte a la construcción de los cinco sólidos platónicos (tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro). El resto de su vida es un misterio, tal y como afirmó el escritor británico Edward M. Foster: “A decir verdad, no sabemos nada de él, hoy lo consideramos más como una rama del saber que como un hombre”.
Orden en el pensamiento griego
Tras el esplendor del pensamiento griego, Euclides puso orden y amplió el trabajo de otros matemáticos anteriores. Tan importante es el contenido de su obra como la estructura que le proporcionó. A partir de un puñado de ideas, demostró un largo número de resultados en los que además visibilizó los principios del razonamiento matemático. Frente a ideas anteriores deslavazadas y eminentemente prácticas, Euclides demostró teoremas usando reglas deductivas claras, a partir de ciertos axiomas prefijados, con el objetivo de no dejar ningún cabo suelto. Elementos presenta 131 definiciones, 5 postulados o axiomas, 5 nociones comunes y 465 proposiciones. De sus 13 volúmenes, 8 abordan la geometría en el plano y el espacio, mientras que el resto están dedicados a la teoría de la proporción, la aritmética y la teoría de la inconmensurabilidad —precursora de los números irracionales.
El Libro I de Elementos es el más famoso: recoge los 5 postulados de la geometría en el plano, que dieron tema de conversación a los sabios matemáticos durante muchos siglos. Estos axiomas indican que las figuras geométricas que manejaba Euclides podían construirse con solo regla y compás, sin necesidad de herramientas más complejas. Los primeros 4 postulados son bastante intuitivos, por ejemplo, es posible trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier otro o todos los ángulos rectos son iguales. Sin embargo el quinto axioma es menos obvio, y provocó que muchos matemáticos posteriores intentasen enunciarlo de otra manera. En cualquier caso, cuando un plano cumple los cinco axiomas de Euclides, decimos que es un plano euclídeo y hablamos de geometría euclidiana.
El controvertido quinto axioma
“Si una recta incide sobre otras dos, formando del mismo lado ángulos internos menores que dos rectos, al prolongarlas indefinidamente se encontrarán por el lado en que los ángulos sean menores que dos rectos”.
Ya desde la época de Euclides, se pensó que su quinto postulado de la geometría del plano era demasiado complejo y podía enunciarse de manera más sencilla. Para abordar ese reto, se buscaron formulaciones equivalentes de ese axioma, pero de manera que la geometría que lo cumpliese siguiese siendo euclidiana. Así se llegó a enunciados más simples, como por ejemplo “por un punto exterior a una recta se puede trazar una única recta paralela” o “la suma de los ángulos de un triángulo es de 180º”.
No fue hasta principios del siglo XIX, cuando matemáticos como Lobachevski, Bolyai o Gauss plantearon la posibilidad de crear geometrías del plano a partir de postulados diferentes a los de Euclides, lo que se conoce como geometrías no euclidianas. La geometría hiperbólica de Lobachevski, que solo satisface los cuatro primeros postulados de Euclides, es un ejemplo. En ese caso, el quinto se sustituye por otro que es totalmente nuevo. En la geometría hiperbólica, la suma de los ángulos de un triángulo es menor que 180º.
Las ideas de Lobachevski tardaron en aceptarse. Aunque su teoría se consideró matemáticamente correcta, parecía contraria al sentido común. Con el tiempo se encontró utilidad a su geometría —el universo presenta, a gran escala, una geometría hiperbólica—, lo que supuso una revolución para las matemáticas, al tener que revisarse conceptos que se consideraban verdades absolutas hasta entonces.
La cuadratura del rectángulo
La estructura del Libro I de Elementos marcó la del resto de volúmenes, que la repiten y recogen cuestiones habituales de la matemática griega. Un ejemplo es el problema de la cuadratura de un rectángulo, que consiste en construir un cuadrado de igual área a la de un rectángulo dado. Un problema que recuerda a la famosa cuadratura del círculo, que desde la Antigua Grecia y durante siglos trajo de cabeza a los matemáticos; pero hoy sabemos que no puede resolverse empleando solo regla y compás, igual que tampoco puede representarse de ese modo el número pi.
En la parte dedicada a la aritmética aparece también el famoso algoritmo de Euclides, que todavía hoy se emplea con frecuencia para calcular el máximo común divisor. Más de 2.300 años después, las matemáticas de este casi desconocido griego se siguen aplicando en las aulas de Secundaria.
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